Barisan dan Deret Bilangan

Barisan dan deret bilangan merupakan salah satu ilmu matematika yang diberikan di sekolah. Namun tahukah Anda bahwa materi ini bisa dijumpai di kehidupan sehari-hari. Misalnya ketika Anda sedang berinvestasi uang dengan jumlah Rp 20.000.000. Pada bulan pertama Anda akan mendapat bunga sebesar Rp 4.000, bulan kedua sebesar Rp 8.000, dan seterusnya membentuk suatu pola.

Barisan adalah sebuah urutan dari anggota-anggota yang terletak di dalam suatu himpunan berdasarkan pada aturan tertentu. Seluruh anggota dalam himpunan mempunyai urutan/suku seperti urutan pertama, kedua, ketiga, dan seterusnya. Un merupakan notasi yang digunakan untuk menyatakan suku/urutan ke-n.

Definisi lain dari barisan ialah sebuah fungsi yang domainnya merupakan himpunan bilangan asli. Oleh karena itu dapat disimpulkan bahwa Un = f(n). Sedangkan pengertian deret adalah penjumlahan semua suku-suku dari suatu barisan. Deret dapat dinyatakan dengan formula sebagai berikut:

Baca Juga : Sistem Bilangan

Barisan dan Deret Aritmatika

Barisan-dan-Deret-Aritmatika

1. Barisan Aritmatika

Merupakan baris yang nilai dari setiap sukunya diperoleh dari penjumlahan atau pengurangan antaran suku sebelumnya dengan pembeda(b). Pembeda tersebut merupakan selisih antara nilai suku-suku yang berjejeran dan nilainya selalu sama yakni dilambangkan dengan b. Sehingga:

Un – U(n-1) = b

Agar Anda dapat lebih paham maka perhatikan contoh berikut baris 1,4,7,10,13, maka dapat diketahui nilai pembedanya ialah:

b = (13 – 10) = (10 – 7) = (7 – 4) = (4 – 1) = 3

Dalam baris aritmatika terdapat rumus yang berfungsi untuk mengetahui nilai dari suku ke-n. Dengan diketahui nilai dari suku ke-k dan pembeda(b) didapatkan rumus sebagai berikut:

Un = Uk + (n – k)b

Apabila yang diketahui bukan suku ke-k melainkan suku pertama(a) dan pembeda(b), maka nilai k ialah 1 dan nilainya Un dihitung dengan rumus:

Un = a + (n – 1)b

2. Deret Aritmatika

Untuk menghitung penjumlahan semua suku-suku pada barisan aritmatika dapat menggunakan rumus sebagai berikut:

Sn = U1 + U2 + U3 + … + U(n-1)

Atau:

Sn + a + (a+b) + (a+2b) +…+ (a + (n – 2)b) + (a + (n – 1)b)

Apabila dalam persoalan yang diketahui ialah suku pertama(a) dan nilai suku ke-n, maka cara menghitung deret artimatikanya ialah:

Sn =  (a + Un)

Untuk mencari nilai suku ke-n dapat menggunakan persamaan tersebut menjadi:

Sn = U1 + U2 + U3 +…+ U(n-1)

S(n-1) = U1 + U2 + U3 +…+ U(n-1)

Sn – S(n-1) = Un

Sehingga didapatkan persamaan: Un = Sn – S(n-1)

a. Sisipan

Sisipan merupakan sebuah bilangan yang disisipkan di antara nilai suku pertama (a) dan suku terakhirnya (p). Bilangan yang disisipkan tersebut dilambangkan dengan huruf q dan akan menjadi suku-suku pada baris aritmatika. Perhatikan baris aritmatika berikut:

a, (a + b), (a+2b), (a+3b),…,(a+q.b), (a + (q+1)b)

Sedangkan suku terakhir dapat diketahui bahwa:

(a + (q+1)b) = p

Sehingga dapat disimpulkan bahwa nilai b dapat dicari dengan persamaan:

b = p – a / q + 1

Misalnya terdapat sebuah baris aritmatika yang diketahui bahwa nilai a = 2 dan p = 10. Pada baris aritmatika tersebut disisipkan 3 bilangan, maka:

  • Nilai q = 3
  • Nilai pembeda (b): b = 10 – 2 / 3 + 1 = 2
  • Jumlah suku: q + 2 = 3 + 2 = 5
  • Barisan aritmatika: 2,4,6,8,10

b. Suku Tengah

Pada Suku tengah dimiliki oleh barisan aritmatika apabila jumlah sukunya ganjil. Suku tengah merupakan suku ke- ½(n+1). Persamaan untuk menentukan suku tengah ialah:

Un = a + (n – 1)b

U1/2(n+1) = a + (1/2(n+1) – 1)b

sama dengan a + (1/2n – 1/2)b = a + ½(n-1)b

= 2a + (n – 1)b / 2 = a + a(n – 1)b / 2

U1/2(n+1) = a + Un / 2

Baca Juga : Luas dan Volume Tabung

Barisan dan Deret Geometri

Barisan-dan-Deret-Geometri

1. Barisan Geometri

Merupakan baris yang setiap sukunya memiliki nilai didapatkan dari perkalian dengan suatu bilangan(r) dengan suku sebelumnya. Nilai rasio(r) akan selalu sama dalam suatu baris geometri, yakni:

Adapun rumus yang digunakan untuk mengetahui nilai suku ke-n dari suatu baris geometri, yaitu:

Atau:

2. Deret Geometri

Penjumlahan daro barisan geometrii dapat dihitung dengan persamaan:

Sn = U1 + U2+ U3 +…+ U(n-1)+ Un

Atau:

Sn = a + ar + ar2 + ar3 +…+ ar(n-2) + ar(n-1)

Apabila a merupakan suku pertama dan Un suku terakhir, maka:

Persamaan tersebut memiliki syarat 0<r<1, sedangkan ada persamaan lain dengan syarat r>1 yakni:

Untuk mencari suku ke-n dapat dilakukan dengan membalik persamaan tersebut menjadi:

Un = Sn – S(n-1)

Sisipan deret geometri:

Suatu baris geometri memiliki banyak suku q + 2 dan jika diurutkan akan menjadi:

a, ar, ar2, ar3, …,arq, ar(q+1)

Persamaan untuk mencari suku terakhirnya ialah:

ar(q+1) = p

Sehingga dapat disimpulkan sebuah rumus untuk mencari nilai r, yakni:

3. Deret Geometri Tak Hingga

Merupakan deret geometri dimana suku-sukunya dapat dijumlahkan hingga tak hingga. Sehingga lambang n berubah menjadi ∞ dan persamaannya ialah:

Sn = U1 + U2 + U3 + U4 +…

Atau:

Sn = a + ar + ar2 + ar3 + ar4 +…

Terdapat dua jenis deret geometri tak hingga, yaitu:

  • Konvergen

Merupakan deret geometri yang penjumlahan suku-sukunya mendekati sebuah bilangan tertentu.

  • Divergen

Merupakan deret geomteri yang penjumlahan suku-sukunya tidak memiliki batas atau tidak terbatas.

Untuk mendapat nilai dari deret geometri tak hingga bisa menggunakan konsep limit. Persamaan nilai deret geometri tak hingga ialah:

Dengan syarat -1<r<1

Atau:

Dengan syarat r > 1 atau 1<-1

Sehingga akan didapatkan persamaan akhir sebagai berikut:

  • Syarat -1<r<1
  • Syarat r<-1 atau r>1

Contoh Soal Barisan dan Deret Bilangan

Contoh-Soal-Barisan-dan-Deret-Bilangan

Dengan mempelajar contoh soal akan dapat membuat Anda semakin paham mengenai materi ini. Perhatikan beberapa contoh soal berikut.

1. Sebuah barisan geometri yaitu: 3,9,27,… tentukan suku ke-7 dari barisan tersebut!

Jawab:

a = 3

r = 3

Un = ar(n-1)

= 3.3(7-1)

= 3.729

=2187

2. Diketahui barisan aritmatika yakni: 2,6,10,14,18,…Un. Carilah rumus untuk menentukan rumus suku ke-n dalam barisan aritmatika tersebut!

Jawab:

a = 2

b = 4

Un = a + (n-1)b

Un = 2 + (n-1)4 = 2 + 4n – 4 = 4n – 2

3. Terdapat sebuah barisan aritmatika dimana jumlah sukunya 9. Apabila diketahui suku pertamanya memiliki nilai 4 dan suku terakhirnya ialah 20, maka carilah nilai suku tengahnya:

Jawab:

a = 4

Un = 20

U1/2(n+1) = a + Un / 2

U1/2(9+1) = 4 + 20 / 2

U5= 12

Barisan dan deret bilangan merupakan salah satu pelajaran matematika yang diajarkan di sekolah. Hal tersebut dikarenakan materi ini juga bermanfaat dalam kehidupan sehari-hari.

Artikel Lainnya :